[re] 역학 문제 좀 풀어주세요

>A homogeneous, flexible chain of total mass M has the length L. Initially, the chain hangs vertically in the gravitational field in such a way that the lowest point of the chain just touches the horizontal plate of  a spring scale (see the figure).
> Now the chain is allowed to fall freely in the gravitational field of the Earth. When the chain has fallen the distance S a segment S is resting on the scale.
> What will the spring scale show when the chain has fallen the distance S? What will the spring scale show at the instant when the entire chain gas reached the scale?
>
>answer:  
>
>(1)  f=3(Mg/L)S
>            
>(2)  f=3Mg
>
>
>그림은 첨부 자료에 있습니다.
>아시는 분 설명 좀 부탁드립니다.


가능한한 쉽게 설명하겠습니다만, 설명을 잘 할 자신이 없네요..
우선.. 이 chain은 강체가 아니라서, 이 chain을 아주 작은 길이 dx로 잘라서 각 부분에 대해 방정식을 세워야 합니다. 하지만, 저울 바닥에 붙어있는 부분이나, 아직 도착하지 않은 부분은 따로따로 강체라고 생각할수도 있죠. (강체라는 말은 운동하는 동안 모양이 변형되지 않는다는 말입니다.)
그럼 각각의 부분에 대해 식을 세워보면,

아직 닫지 않은 부분:
이부분은 그냥 무게 중심의 운동을 기술해 주면 되는겁니다.
아직 바닥에 닫지 않았으니까, 자유낙하라고 생각할수 있죠. 그럼 속도와 거리의 관계는.. v=gt, S=1/2 g*t^2 니까,
v^2=2gS      (1)
가 됩니다.

바닥에 닫은 부분:
이건 그냥 저울에 의한 수직항력과 정지한 물체의 무게가 같다고 보면 되죠.
식은,
N1 = S*(M/L)*g -(2)

시간 t에 바닥에 부딪히는 부분(dx):
이 식이 좀 까다로울지 모르겠는데, 아주 짧은 길이 dx가 어떤 속도를 가지고 내려오다가 그 순간에 정지하게 되니까, 바닥에 힘을 미치게 되죠. 이힘을 N2라고 하면,
N2*dt= M/L*dx *v
가 됩니다. 이 식은 좌변은 충격량, 우변은 운동량의 변화입니다.
dx길이의 chain의 무게가 M/L*dx 이고, 바닥에 부딪힌 후에는 속도가 0이니까요.
그럼 N2=M/L*dx/dt *v 가 되고, dx/dt는 v와 같죠.
그럼..
N2=M/L*v^2    (3)

그럼 각각의 부분에 대한 식이 세워졌지요. 그럼 저울이 가르치는 눈금은 저울이 chain에 가하는 힘이니까, N1과 N2의 합이 됩니다.
그러므로,

f=N1+N2= S*(M/L)*g+(M/L)*v^2    (<-식 (2), 식(3)에 의해)
            = S*(M/L)*g+(M/L)*2*g*S (<-식 (1)에 의해)
            = 3gS(M/L)

이것이 첫번째 문제의 답이고, 두번째는 S가 L일때의 힘이니까, 위의 식에 S 대신에 L을 대입하면, f=3gM이 되는겁니다.



* 안시원님에 의해서 게시물 복사되었습니다 (2004-09-03 16:22)